Задания олимпиады по математике 10 класс, 1 курс СПО - Зима 2020

1. (3 балла) Какие из неравенств выполняются при любых значениях ?

1. 2 и 3
2. 2 и 4
3. 3 и 4
4. Другой ответ

2. (3 балла) На гранях кубика изображены цифры. На верхней и нижней – 3 и 6, на правой и левой – 5 и 4, на фронтальной и тыльной 1 и 2 соответственно. Назовите максимальную сумму цифр, которая видна в любой определенный момент.

1. 15
2. 14
3. 13
4. 12

3. (3 балла) Яблоки в свежем виде состоят на 90% из воды, а сушеные яблоки – на 12%. Какое количество сушеных яблок можно получить из 11 килограмм свежих?

1. 1,4 кг
2. 1,5 кг
3. 2,45 кг
4. 1,25 кг

4. (5 баллов) Какова вероятность того, что при броске трех игральных костей сумма очков будет 15?5%

1. 15%
2. 25%
3. 35%

5. (5 баллов) Два солдата чистят одинаковое кол-во картошки. Вася за минуту чистит 16 клубней, а Петя – 20. Начав одновременно, Вася почистил все позже Пети на 33 секунды. Какое количество картошки было у каждого изначально?

1. 22
2. 44
3. 48
4. 60

6. (5 баллов) В жилом доме сто квартир. Каково максимальное количество квартир может быть с одинаковой суммой цифр в номере?

7. (5 баллов) Определите сумму корней следующего уравнения

8. (7 баллов) Две плоскости a и ß пересекаются по прямой c. В плоскости a взята точка А. Расстояния от точки А до плоскости ß равно √ , а до прямой с – 8 см. Найдите двугранный угол в градусах между плоскостями.

9. (7 баллов) АВС - равносторонний треугольник со стороной . На расстоянии от вершины А взята точка D. Найдите величину угла BDC.

1. 60^O или 120^O
2. 90^O
3. 45^O
4. 30^O или 150^O

10. (7 баллов) По кругу стоят сто человек, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец (лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду). Каждый из стоящих сказал: «У меня есть сосед лжец». Найдите минимальное возможное число лжецов среди этих 100 человек.