Сложение и вычитание натуральных чисел

1. Сложение натуральных чисел и его свойства
2. Вычитание натуральных чисел и его свойства
3. Числовые и буквенные выражения
4. Буквенная запись свойств сложения и вычитания
5. Уравнения

Все мы умеем считать.

Вы ведь знаете, что при счёте предметов мы используем натуральные числа (1, 2, 3 и так далее)? С этими числами можно совершать множество математических действий, суммировать, вычитать умножать, выбирать большее и т.д.

Сегодня мы подробно расскажем об операциях сложения и вычитания натуральных чисел и посмотрим, как можно проиллюстрировать эти действия на координатном луче.

Сложение натуральных чисел и его свойства

Для начала предлагаю вспомнить, что такое ряд натуральных чисел.

Натуральный ряд - это неограниченная последовательность натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания. Значит в натуральном ряду каждое последующее число больше предыдущего на единицу.

Как определить неизвестное число из натурального ряда?

Нужно прибавить к предыдущему числу единицу. Какое число следует за тройкой? Прибавляем единицу и получаем 4. То есть в натуральном ряду за тройкой следует четвёрка.

Как использовать это свойство натурального ряда при сложении?

Давайте сложим 2 и 3. Три - это три единицы, значит, к двойке прибавляем по одной по порядку:

2+1=3

3+1=4

4+1=5

В конечном результате действия с числами 2 и 3 появилось число 5. Вроде бы просто да? Но такой способ сложения лёгкий лишь когда, мы работаем с маленькими числами. С большими числами не по единичке же добавлять? Правильно?

Представим ситуацию, при которой в корзине лежит 20 яблок, добавляем к ним и ещё 15. Как определить, сколько всего яблок оказалось в корзине? Чтобы освободиться от необходимости перебирать объекты по одному, давайте определим операцию сложения.

Определение:

Сложение - это арифметическая операция, после проведения которого наши вещи, подвергаемые счету, соединяются воедино. В данном случае единое целое - это общее количество яблок в корзине. Общее количество в переводе на латиницу – это сумма. Слышали это слово?

Сумма - это результат операции сложения.

Для записи операции сложения используется знак «+». Он располагается между складываемыми числами.

Числа, которые мы складываем, называют слагаемыми. Для отображения результата сложения используют знак «=».

Давайте посчитаем, сколько же яблок оказалось в той самой корзине:

20 (яблок) +  15 (яблок) = 35 (яблок) в корзине

Теперь попробуем представить сложение небольших натуральных чисел на координатном луче.

Мы уже складывали числа 2 и 3. Возьмём теперь числа 2 и 4 и найдём их сумму с помощью координатного луча с началом отсчета в точке 0.

Его единичный отрезок (одно деление) равен  единице. Мы помним, что любому числу координатного луча соответствует одна единственная точка. Учитывая это знание, выполним сложение натуральных чисел 2 и 4 на координатном луче.

Отмечаем число 2 там, где два деления, далее прибавляем 4, то есть двигаемся право на 4 единичных отрезка, где мы окажемся в точке, равной 6. Следовательно, суммы чисел 2 и 4 равна 6. Это мы и так уже знали, но теперь увидели это и на координатном луче.

Переходим к следующему разделу и рассмотрим свойства сложения натуральных чисел.

Переместительное свойство

У нас есть корзина, и в ней лежат 8 бананов. Затем мы кладем туда ещё 5 бананов. Таким образом, в ней оказывается 13 бананов.

А мы выберем немного другой порядок. Представим, что сначала в корзине было 5 бананов, и мы туда положили ещё 8 бананов. В итоге фруктов в корзине будет 13. Почему? Потому что и в первом и во втором случае общее количество фруктов, которые положили в корзину одинаковое. Без разницы, в каком порядке выполнялись эти действия 8 + 5 или 5 + 8. В обоих случаях в сумме получается 13. Переместительное свойство сложения обязательно нужно запомнить.

Определение:

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

Сочетательное свойство

Второе сложения натуральных чисел – сочетательное свойство. Мы можем положить в корзину 3 банана и 4 яблока, а потом доложить еще 5 мандаринов. Или наоборот, мы можем положить 4 яблока и 5 мандаринов, а потом доложить еще 3 банана. Порядок добавления фруктов не имеет значения, потому неважно, в каком сочетании суммировались эти числа. В обоих случаях итог был бы одинаковым – 12 фруктов в корзине. Говоря математически,  результат сложения числа 5 с суммой чисел 3 и 4 равен результату сложения числа 3 и суммы чисел 4 и 5.

Определение:

"Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, а потом к полученной сумме второе".

Отметим, что последовательность действий при суммировании значение не имеет.

Сложение с числом 0

Еще одно свойство сложения – это свойство сложения 0 с натуральным числом.

При сложении 0 с каким-либо числом всегда получается это самое число. Или наоборот, если к числу прибавлять 0, то есть ничего не прибавлять, то получится исходное число.

Определение:

"Сумма двух слагаемых, если одно из слагаемых равно нулю, будет всегда равна другому слагаемому".

Вычитание натуральных чисел и его свойства

Математический прием, при помощи которого, зная сумму слагаемых и один из этих слагаемых, можно определить неизвестное слагаемое, называется вычитанием.

Ранее мы складывали два числа 2 и 3 и получали 5. А теперь предположим, что мы не знаем второе число 3, а знаем только результат 5 и начальное число 2.

Давайте произведем математическую операцию вычитания.

5 – 2 = 3

Как видите, результатом вычитания является недостающее слагаемое. Оно называется разность.

В нашем случае число 5 тогда будет называть уменьшаемым, а число 2 будет называть вычитаемым.

Похожим образом, как и со сложением, можно вычитать числа на координатном луче, только двигаться нужно не вправо, а влево на число отрезков, равное вычитаемому.

Теперь рассмотрим свойства вычитания, которые иногда помогают значительно ускорить процесс расчетов.

Разность одинаковых чисел

Если из числа вычесть это же самое число, то в результате получится нуль.

Вычитание нуля из натурального числа

Если из числа вычесть нуль, то число не изменится

Вычитание суммы из натурального числа

Чтобы вычесть сумму из числа, можно от него отнять одно из слагаемых, а затем из результата вычесть второе слагаемое.

Вычитание натурального числа из суммы

Если же мы хотим вычесть число из суммы двух чисел, мы можем сначала вычесть это натуральное число из одного из слагаемых, а потом прибавить к результату второе слагаемое.

Чуть позже мы разберемся, как эти правила записать в более понятном виде. Немного терпения ;)

Числовые и буквенные выражения

Как вы уже, наверное, заметили, математические операции сложения и вычитания мы записывали в какой-то новой для нас форме, со знаками "-", "+" и "=".

Такой способ записи математической информации на бумаге, в компьютере или где-нибудь еще можно назвать математическим языком.

А определенную последовательность символов этого математического языка, которая несет в себе некий смысл, мы будет называть математическим выражением.

Существуют числовые и буквенные выражения. Ниже приведем пример таких выражений.

Под цифрами 1, 2 и 4 записаны числовые выражения.

Числовые выражения - это математические выражения, состоящие из чисел, знаков арифметических действий и скобок.

Под цифрами 2, 5 и 6 записаны буквенные выражения.

Буквенное выражение составлено также из знаков арифметических действий и скобок. Но в отличие от числовых выражений, здесь есть ещё и буквы. Буквами в буквенных выражениях обозначаются некоторые числа, которые пока нам не известны.

Следует учесть то, что две одинаковые буквы подразумевают под собой одно и то же число.

Если, например, известно какое число скрывается за каждой буквой в буквенном выражении, то такое выражение можно перевести в числовое.

Посмотрите на буквенное выражение:

a + b = 9

Если a = 5, а b = 4, то это буквенное выражение можно представить в виде числового

5 + 4 = 9

Буквенная запись свойств сложения и вычитания

Вспомним свойства сложения и вычитания, которые мы изучили в начале. Теперь мы можем представить их в виде буквенных выражений.

a + b = b + a

(a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = a

0 + a = a

a - 0 = a

a - (b + c) = (a - b) - c

(a + b) - c = (a - c) + b

Уравнения

Давайте рассмотрим такую задачу.

В корзине лежало несколько ягод. После того, как в неё добавили еще 4, их стало 30. Вопрос, сколько яблок было в корзине?

Обозначим неизвестное число ягод, лежащих корзине, латинской буквой X.

После того, как неё добавили 4 ягоды в ней стало 30.

Мы можем записать равенство в следующем виде:

Х + 4 = 30

Это запись условия задачи называется уравнением.

Теперь наша задача сводится к следующему. Требуется найти, каким числом нужно заменить Х, чтобы значение буквенного выражения стало равно 30.

В таких случаях говорят, что надо решить уравнение.

Внимательно посмотрим на уравнение, которое находится перед нами. Нам неизвестно слагаемое. Воспользуйся правилом нахождения неизвестного слагаемого.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Найдём значение X. Оно равно 26.

Давайте проверим. В наше начальное уравнение вместо X подставим число 26 и найдём значение левой части. Действительно, 30 равно 30.

Тогда говорят, что число 26 является корнем уравнения. Корнем уравнения называется число, которое при подстановке вместо буквы, обращать уравнение в верное числовое равенство.

Корень уравнения называют также решением уравнения. А решить уравнение значит найти все его корни или убедиться что их вообще нет (такое тоже может быть).

Например, уравнение X - X = 1 не имеет корней, потому что при любом числовом значении Х данное буквенное выражение не будет обращаться в верное числовое равенство.

В данной задаче мы находили неизвестное слагаемое. Но есть еще два правила, которые тоже обязательно нужно знать: правило нахождения неизвестного уменьшаемого и правило нахождения неизвестного вычитаемого.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

В буквенном виде эти правила записываются следующим образом:

X - a = b => X = a + b

a - X = b => X = a - b

Здесь X - это неизвестное число, а a и b некоторые числа.