Делимость натуральных чисел. Признаки делимости.

1. Делители и кратные
2. Признаки делимости
3. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители
4. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель (НОК и НОД)

Сегодня мы расскажем про делители и кратные натуральных чисел. Вам будет интересно узнать про признаки делимости чисел и деление всех чисел на простые и составные. Мы рассмотрим разложение на простые множители и научимся находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел.

Делители и кратные

Предположим, у нас с вами есть 6 яблок, и мы хотим разделить их поровну между двумя нашими друзьями. Мы можем это сделать - каждый получит по три яблока. А между тремя? Тогда каждый получит по 2 яблока. А между четырьмя друзьями? Можно ли разделить поровну, в том смысле, чтобы каждый получил целое количество яблок? Нельзя! Шесть на четыре нацело не делится. Между пятью  тоже нельзя.

Всё просто. Шесть делится нацело на 1, 2, 3 и 6. Эти числа 1236 называются делителями числа 6. Они его делят нацело, а число 6, в свою очередь, делится на них нацело и называется кратным этим числам. Число 6 кратно одному, кратно двум, кратно трём и кратно 6.

Нетрудно заметить, что у любого натурального числа есть хотя бы как минимум два делителя - это единица и само это число, кроме единицы, потому что единица делится нацело только на единицу.

Делителем натурального числа А называется натуральное число, на которое А делится нацело.

Кратным числу А называется натуральное число, которое делится на А нацело.

Нетрудно заметить, что любое натуральное число имеет бесконечно много кратных, наименьшее из которых - само это число.

Признаки делимости

Какие бывают признаки делимости натуральных чисел? Рассмотрим число 123456, можете сказать об этом числе по внешнему виду. Как по внешнему виду определить, на что можно разделить это число. Это и есть признаки делимости натуральных чисел

Признак делимости на 2

На 2делится любое натуральное число, запись которых заканчивается на 0, 2, 4, 6

Например, очень большое число 120345876568 точно делится на два, так как его запись оканчивается цифрой 8

Так же следует запомнить, что любое число, которое делится на 2, а также число, которое заканчивается либо на 0, либо на 2, либо на 4, либо на 6, либо на 8, называются четным.

Любое число, которое не делится на два, то есть заканчивается либо на 1, либо на 3, либо 5, либо на 7 или 9, называется, соответственно, нечетным.

Признак делимости на 3

Если сумма цифр любого натурального числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Число 156879 делится на 3, так как 1+5+6+8+7+9=36 делится на 3.

Признак делимости на 4

Если в записи числа последние две цифры образуют число, которое делится на 4, то такое число делится на 4.

Число 362836 делится на 4, так как последние 2 цифры образуют число 36, которое делятся на 4.

Признак делимости на 5

Если запись числа оканчивается на цифру либо 0, либо 5, такое число делится на 5.

Признак делимости на 6

Если число делится на 2 и на 3 одновременно, то оно делится на 6.

Признак делимости на 8

Если в записи числа последние три цифры образуют число, которое делится на 8, то такое число делится на 8.

Число 12586023064 делится на 8, так как последние 3 цифры образуют число 64, которое делятся на 8.

Признак делимости на 9

Этот признак делимости похож на 3. Если сумма цифр делится на 9, то и само число делится на 9.

Признак делимости на 25

Если в записи числа последние две цифры нули или образуют число, которое делится на 25, то такое число делится на 25.

Признак делимости на 10

Если число оканчивается на 0 то, оно делится на 10.

Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители

Натуральное число называют простым, если оно имеет 2 делителя - единица и самое это число. То есть, если натуральное число не делится нацело ни на что, кроме как на единицу и на само это число, то такое число – простое.

Теперь, зная определение простых чисел, узнаем, какое существует наименьшее простое число. Единица? Нет, единица имеет только один делитель, а по определению простое число имеет два.

Наименьшее простое число - это 2. Оно делится на 2 и на 1. 2 - это единственное чётное простое число. Все остальные простые числа – нечетные.

Но необязательно нечетное число является простым. Те числа, которые имеют больше двух делителей, называются составными.

Куда отнести тогда единицу, спросите вы? Единицу не относят ни к простым, ни к составным числам.

Любое составное число можно представить в виде двух множителей, каждый из которых больше единицы.

Разложение натурального числа на простые множители:

Шаг 1.

Выберите число, которое необходимо разложить на простые множители

Шаг 2.

Убедитесь в том, что это число составное, то есть делится еще на какие-то числа, кроме единицы и самого себя. В этом вам помогут признаки делимости чисел.

Шаг 3. Нарисуйте схему, как на рисунке. У нас есть черта, слева от неё записываем числа, которые будут получаться в результате разложения, а справа нужные нам простые множители. Сразу проверяем, делится ли исходное число на 2. В нашем случае делится. Записываем 2 справа. Результат деления исходного числа на 2, а именно 142, записываем слева. Таким образом, мы проверяем каждый раз, на какие простые числа делится следующий результат деления. Когда получилось 71, проверяем, на какие простые числа делится 71. Число 71 не делится ни на что, кроме как на единицу и на само себя. Поэтому записываем число 71 справа, как простое число, а результат деления единицу записываем слева. Именно единицей должна оканчиваться любая схема разложения. Проверяем, чтобы справа были все простые числа. Получилось следующее разложение: 284 равно 2 * 2 * 71

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель (НОК и НОД)

Для того чтобы усвоить данную тему, следует хорошо разобраться в том, как раскладывать число на простые множители.

Наибольшим общим делителем (НОД) называют наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел.

Как найти НОД? Для этого нужно выполнить два пункта:

1. Разложите два числа на простые множители

2. Найдите произведение общих делителей этих чисел

Наименьшим общим кратным (НОК) называется наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел.

Как найти НОК двух чисел?

1. Разложите эти два числа на простые множители

2. Запишите разложение одного из этих чисел

3. Дописать в это разложение те множители другого разложения, которые еще не вошли в данное разложение, и вычислить произведение всех получившихся чисел.